バナナレポート

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紙は何回まで折れるのか【紙】【何回】【折れる】【Britney Gallivan's Formula】

紙は何回まで折れるのか。

今回は結構理系要素の強めな話題の記事です。というのも以前暇な時なんとなく自分でこの話題を試したくなったのでA4紙を折ることにしてみました。

よく聞く話としては「どんな紙でも8,9回までしか折ることができない」という。

こちらのyoutubeの動画

www.youtube.com

にあるように、43回折ると月に届くまでの距離になる、とトリビアの泉で紹介されたことは有名です。

他にもYoutuberであるおるたなChannelがプレス機で実際どごまで折れるか挑戦してたりしてます。

www.youtube.com

これによればちゃんと折れていたのは8回まで。

実際素手で私が挑戦してみました。

なお、折り方は1回前の折り目に対して直角に折る「直角折り」と、一方向に折る「巻物折り」の2種類があります。前者の方が上記の動画などでされていた折り方です。後述する公式を使って分析したいため後者の巻物折りで行きます。

まずはA4の紙1枚を用意します。

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1回目

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2回目

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3回目

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4回目

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5回目

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6回目

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のように6回目で限界。写真ではよく見えませんが、紙の厚さの大きさ的にこの時点でもう一回折るのは困難です。ていうか6回目はペンチなどを使って無理やり折りましたが、折れてるかも怪しいくらいです。

 

とはいえ、A4紙で今回はこの結果だったの過ぎません。もっと大きい紙ならいけるのでは?という疑問も起こるとは思います。

厚さtの紙を一方向へn回折った時、最低限必要な紙の長さ{Ln}を求める公式があります(なお、「直角折り」の方も導出したかったのですがこっちは2次元上になるため求めるのはかなり難しいみたいなので今回は割愛いたします)。 

{L_n= \frac{\pi t}{6}(2^n+4)(2^n-1)}

この公式はBritney Gallivan氏が2001年頃求めたもので、Britney Gallivan - Wikipediaにも載っています。彼女は1200mのトイレットペーパーを12回折ることに成功したそうです。1200mあっても12回しか折れないのか?!

まずはこの式を導出してみましょうか。

巻物折りの場合、1次元で考えられるため簡単です。 1回紙を折ると、以下の図のように折り目の部分の円弧の長さ分だけ紙の長さが削られていきます。

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厚さt長さLの紙が折られて、厚さ2t長さL/2+長さ{\pi t}の円弧を持つ図形へと変化しました。この円弧の長さより紙の長さLが短いと、理論的には折ることができません。故に、{L_1 = \pi t}であるということができるでしょう。厚さ0.09mmのA4紙に対しては0.28mmよりも短い紙では折ることができません。まあ、まず0.28mmよりも我々が扱う紙は長いので1回も折れないという紙はほぼ身近には存在しないでしょう。

 

さて、2回折ると少し様子が変わります。

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先ほどの円弧がついたまま折られるので上の図のようになるのです。

円弧部分の長さの合計は{L_2 = \pi t + \pi t(1+2)}、故に{L_2 = 4 \pi t}です。

必要な長さは前の4倍となりました。

さらに3回目となると...

 

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厚さ8t、長さL/8の厚紙となります。円弧が実はいくつかついています。先ほどまでと同様に計算すると...

{L_3 = 4 \pi t + \pi t(1+2+3+4)=14\pi t}となります。故に、1回目の14倍です。折る度にどんどん必要な紙の大きさは大きくなっていきます。

ちなみに4回目は同様にして

{L_4 = 14 \pi t + \pi t(1+2+3+4+5+6+7+8)=50\pi t}となります。

 

この傾向から次の漸化式が成り立ちますね。

{L_1=\pi t}

{L_{n+1}=Ln + \Sigma^{2^n}_{m=1} m \pi t}

この漸化式から最初に登場したこの式、{L_n= \frac{\pi t}{6}(2^n+4)(2^n-1)}が類推できます。よくある数列の問題と同じですが、数学的帰納法を用いてこれを証明すれば導出できたわけになります。

まず、n=1の時ですが、代入すれば成立することは明らかです。{L_1 = \pi t}

次に、n=kが成立するとみなして、{L_{k+1}}について

{L_{k+1}=L_k+\Sigma^{2^k}_{m=1}m \pi t} 

{=\frac{\pi t}{6} (2^k+4)(2^k-1) + \pi t \frac{2^k(2^k+1)}{2}}

{=\frac{\pi t}{6} (2^{2k} +3*2^k -4 + 3*2^{2k} + 3*2^k)}

{=\frac{\pi t}{6} (2^{2k}*4 + 3*2^{k+1}-4)}

{=\frac{\pi t}{6}(2^{k+1}+4)(2^{k+1}-1)}

となり、n=k+1の時でも成り立ちます。故に、当初の式は証明されました。

 

さて、本式{L_n= \frac{\pi t}{6}(2^n+4)(2^n-1)}を用いてA4の紙を用いると何回まで折れるのか類推してみましょうか。

A4紙の厚さはだいたい0.09mmくらいです。これを先の式に代入すれば、

1回折ると{2.8×10^{-4}}m=0.28mm 

2回折ると{1.1×10^{-3}}m=1.1mm

3回折ると{3.9×10^{-3}}m=3.9mm

4回折ると{1.4×10^{-2}}m=14mm

5回折ると{5.6×10^{-2}}m=52mm

6回折ると{2.0×10^{-1}}m=200mm

7回折ると789mm

8回折ると3120mm=3.12m!!

 急に8回目で上がります。横軸を折る回数にして縦軸を必要な紙の長さとすれば以下のようなグラフで表せます。桁違いですね...

地球ー月間を超えるくらいのサイズの紙でなければ22回紙を折ることはできません。ちなみに、冒頭で紹介した、12回紙を折るのに必要な紙の大きさの理論値は791mなので、1200mの紙でそれだけ折れるのは理論通りです。13回目は3100m以上必要です。つまり日本列島サイズの紙を用意しても折れるのはせいぜい13回です。

f:id:SHGG:20180920003842p:plain

 

また、紙を折る回数をnとすればその紙の厚みは{2^n}倍となっていきます。

10回折れば1024倍ですので厚さ0.09mmでも92.16mmとなります。

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ちなみに22回折ると377m=東京タワーより少し高いくらいの厚みになりますが、ここまで紙を折るためには地球ー月間くらいの長さの紙が必要です。

冒頭のトリビアの泉で紹介されていたように43回折ればたしかに月までの距離をはるかに超えて79万kmとなります。

しかしながら、43回もおるためには少なくとも385光年の長さの紙が必要です。

どんどん折っていくと上記のグラフのように急激に厚みは大きくなり、50回くらいで木星に届きます。

このように、大変途方もない話となってしまうわけです。

 

地球上で作れる紙の大きさはせいぜい40000mくらいですのでそれくらい巨大な紙を用意してもせいぜい14回しか折ることはできません。

今回は巻物折りで紙を折っていったときにどこまで折れるのか、どのくらいの紙が理論的に必要なのか書き記しました。最も身近なA4紙では6回が限界です。

 

普通の折り方である、直角折りでは先ほどのような式を導出するのが困難です。2次元であるため、先ほどの円弧を折り曲げる際に同様の考え方では問題が生じます。

何回が限界なのかは式を導出できなかったため分かりませんが、おそらく8回くらいだと思います。まあ、巻物折りと大して差はないと思われますが...